Przejdź do zawartości

Algebra Clifforda

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Algebra Clifforda formy kwadratowej to para gdzie jest algebrą nad a przekształceniem liniowym, taka że (dla każdego )

gdzie jest elementem neutralnym mnożenia w Oznacza się ją

Algebra Clifforda stanowi uogólnienie liczb zespolonych, kwaternionów i wielu innych podobnych konstrukcji algebraicznych.

Definicja

[edytuj | edytuj kod]

Algebra Clifforda formy kwadratowej to para gdzie jest algebrą nad a przekształceniem liniowym, taka że (dla każdego )

gdzie jest elementem neutralnym mnożenia w przy czym spełniona jest następująca własność uniwersalności: dla każdej algebry nad ciałem i dla każdego przekształcenia liniowego które spełnia równanie

(dla każdego ) istnieje dokładnie jeden homomorfizm algebr taki że tzn. taki, że poniższy diagram

jest przemienny.

(1) Ponieważ każdej formie kwadratowej odpowiada wzajemnie jednoznacznie symetryczna forma dwuliniowa taka, że to równość z definicji można zapisać także

(2) Rozpisując z jednej strony

a z drugiej strony

i usuwając zbędne wyrazy, dostaje się

(3) Formę kwadratową na skończenie wymiarowej przestrzeni z wymiarem równym da się zawsze sprowadzić do postaci

gdzie dla i poza tym.

W bazie w której ma to przedstawienie mamy (oznaczając przez )

Z tego powodu algebrę Clifforda formy oznacza się też

(4) Wektory z utożsamia się z ich obrazami w i bardzo często pisze się zamiast Wektory z rozpięte przez utożsamia się z elementami ciała

Baza i wymiar

[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli przestrzeń liniowa jest skończenie wymiarowa z wymiarem równym z bazą to bazę algebry Clifforda stanowią oraz iloczyny ( oznaczamy przez )

gdzie [1].

Wynika z tego, że wymiar algebry Clifforda wynosi

Konstrukcja algebry Clifforda

[edytuj | edytuj kod]

Definicja algebry Clifforda jest abstrakcyjna i niekonstruktywna, jednakże algebra Clifforda dowolnej formy kwadratowej może zostać skonstruowana w następujący sposób[1]. Niech będzie algebrą tensorową. oznacza tutaj -krotny iloczyn tensorowy W wybieramy ideał generowany przez tensory postaci Algebrę definiujemy jako iloraz

wraz z naturalnym włożeniem danym wzorem

jest algebrą Clifforda

Przykłady

[edytuj | edytuj kod]

(1) Liczby zespolone tworzą trywialną algebrę Clifforda Mogą zostać skonstruowane w następujący sposób. Niech Połóżmy Oznaczamy i kładziemy Przekształcenie liniowe jest dane wzorem

Mamy

a zatem forma jest dana wzorem

(2) Kwaterniony są algebrą Clifforda Mogą zostać skonstruowane w następujący sposób. Niech Połóżmy

Oznaczmy i połóżmy

Te związki pozwalają już znaleźć iloczyn każdych dwóch wektorów z

Przekształcenie liniowe jest dane wzorem

Mamy

Forma kwadratowa jest zatem dana wzorem

(3) Rozpatrzmy -wymiarową podprzestrzeń złożoną z macierzy postaci Nazwijmy ją Jej bazę stanowią macierze i Mamy

Za przyjmujemy algebrę rozpiętą przez i macierz jednostkową ze zwykłym mnożeniem macierzowym. Mamy

a zatem wraz z jest algebrą Clifforda formy kwadratowej danej wzorem

(4)

  • Liczby podwójne to algebra Clifforda
  • Kokwaterniony to algebra Clifforda albo
  • Bikwaterniony to algebra Clifforda
  • Liczby dualne to algebra Clifforda zdegenerowanej formy tzn. równej tożsamościowo zero.

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]