Algebra Clifforda formy kwadratowej to para gdzie jest algebrą nad a przekształceniem liniowym, taka że (dla każdego )
gdzie jest elementem neutralnym mnożenia w Oznacza się ją
Algebra Clifforda stanowi uogólnienie liczb zespolonych, kwaternionów i wielu innych podobnych konstrukcji algebraicznych.
Algebra Clifforda formy kwadratowej to para gdzie jest algebrą nad a przekształceniem liniowym, taka że (dla każdego )
gdzie jest elementem neutralnym mnożenia w przy czym spełniona jest następująca własność uniwersalności: dla każdej algebry nad ciałem i dla każdego przekształcenia liniowego które spełnia równanie
(dla każdego ) istnieje dokładnie jeden homomorfizm algebr taki że tzn. taki, że poniższy diagram
jest przemienny.
(1) Ponieważ każdej formie kwadratowej odpowiada wzajemnie jednoznacznie symetryczna forma dwuliniowa taka, że to równość z definicji można zapisać także
(2) Rozpisując z jednej strony
a z drugiej strony
i usuwając zbędne wyrazy, dostaje się
(3) Formę kwadratową na skończenie wymiarowej przestrzeni z wymiarem równym da się zawsze sprowadzić do postaci
gdzie dla i poza tym.
W bazie w której ma to przedstawienie mamy (oznaczając przez )
Z tego powodu algebrę Clifforda formy oznacza się też
(4) Wektory z utożsamia się z ich obrazami w i bardzo często pisze się zamiast Wektory z rozpięte przez utożsamia się z elementami ciała
Jeżeli przestrzeń liniowa jest skończenie wymiarowa z wymiarem równym z bazą to bazę algebry Clifforda stanowią oraz iloczyny ( oznaczamy przez )
gdzie [1] .
Wynika z tego, że wymiar algebry Clifforda wynosi
Definicja algebry Clifforda jest abstrakcyjna i niekonstruktywna, jednakże algebra Clifforda dowolnej formy kwadratowej może zostać skonstruowana w następujący sposób[1] . Niech będzie algebrą tensorową. oznacza tutaj -krotny iloczyn tensorowy W wybieramy ideał generowany przez tensory postaci Algebrę definiujemy jako iloraz
wraz z naturalnym włożeniem danym wzorem
jest algebrą Clifforda
(1) Liczby zespolone tworzą trywialną algebrę Clifforda Mogą zostać skonstruowane w następujący sposób. Niech Połóżmy Oznaczamy i kładziemy Przekształcenie liniowe jest dane wzorem
Mamy
a zatem forma jest dana wzorem
(2) Kwaterniony są algebrą Clifforda Mogą zostać skonstruowane w następujący sposób. Niech Połóżmy
Oznaczmy i połóżmy
Te związki pozwalają już znaleźć iloczyn każdych dwóch wektorów z
Przekształcenie liniowe jest dane wzorem
Mamy
Forma kwadratowa jest zatem dana wzorem
(3) Rozpatrzmy -wymiarową podprzestrzeń złożoną z macierzy postaci Nazwijmy ją Jej bazę stanowią macierze i Mamy
Za przyjmujemy algebrę rozpiętą przez i macierz jednostkową ze zwykłym mnożeniem macierzowym. Mamy
a zatem wraz z jest algebrą Clifforda formy kwadratowej danej wzorem
(4)
- Liczby podwójne to algebra Clifforda
- Kokwaterniony to algebra Clifforda albo
- Bikwaterniony to algebra Clifforda
- Liczby dualne to algebra Clifforda zdegenerowanej formy tzn. równej tożsamościowo zero.